Binär zu Dezimal umrechnen
Wie rechnet man eine Binärzahl in eine Dezimalzahl um?
Die Macht des Stellenwerts
Du kennst das Prinzip bereits vom Dezimalsystem: Jede Ziffer in einer Zahl hat einen bestimmten Stellenwert, der auf der Basis 10 beruht (Einer, Zehner, Hunderter usw.). Bei der Zahl 345 steht die 5 für 5 * 10⁰, die 4 für 4 * 10¹ und die 3 für 3 * 10².
Genau dasselbe Prinzip wenden wir auch im Binärsystem an, nur dass hier die Basis 2 die Grundlage ist. Die Stellenwerte sind also Potenzen von 2. Jede Stelle in einer Binärzahl repräsentiert eine Zweierpotenz, beginnend mit 2⁰ für die Ziffer ganz rechts.
Ein praktisches Beispiel für die Binärzahl 1101:
Stelle (von rechts): 4. | 3. | 2. | 1.
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Binärziffer: 1 | 1 | 0 | 1
Stellenwert (2^): 2³ | 2² | 2¹ | 2⁰
Dezimalwert: 8 | 4 | 0 | 1Die Ziffer an jeder Position wird also mit ihrem jeweiligen Stellenwert multipliziert.
Die Umrechnung Schritt für Schritt
Die Umrechnung einer Binärzahl in eine Dezimalzahl ist ein einfacher Prozess, der immer den gleichen Schritten folgt. Nehmen wir wieder die Binärzahl 1101 als Beispiel:
- Binärzahl notieren: Schreibe die Binärzahl auf, am besten mit etwas Abstand zwischen den Ziffern.
1 1 0 1- Stellenwerte zuordnen: Ordne jeder Ziffer von rechts nach links die entsprechende Potenz von 2 zu, beginnend mit
2⁰.
1 1 0 1
| | | |
2³ 2² 2¹ 2⁰- Werte berechnen: Multipliziere jede Binärziffer mit ihrem zugehörigen Stellenwert.
(1 * 2³) + (1 * 2²) + (0 * 2¹) + (1 * 2⁰)
= (1 * 8) + (1 * 4) + (0 * 2) + (1 * 1)- Summe bilden: Addiere alle berechneten Werte, um das Endergebnis zu erhalten.
8 + 4 + 0 + 1 = 13Die Binärzahl 1101 entspricht also der Dezimalzahl 13.
Welche typischen Fehler sollte man vermeiden?
Der „Off-by-One“-Fehler: Bei Null anfangen!
Ein sehr häufiger Fehler ist, die Zählung der Stellenwerte bei eins statt bei null zu beginnen. Die Potenzierung für die Stellenwerte startet immer mit 2⁰ für die Ziffer ganz rechts. Vergisst man das, verschieben sich alle Werte und das Ergebnis wird falsch.
- Falsch (Potenz beginnt bei 1): Nehmen wir die Binärzahl
101. Wenn wir fälschlicherweise mit der Potenz2^1für die rechte Stelle beginnen, passiert Folgendes:
1*2³ + 0*2² + 1*2¹ = 8 + 0 + 2 = 10 // Falsches Ergebnis!- Richtig (Potenz beginnt bei 0):
1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 4 + 0 + 1 = 5 // Richtiges Ergebnis!Denke immer daran: In der Informatik beginnt man sehr oft bei null zu zählen!
Die Bedeutung der Nullen
Ein weiterer Fehler ist, die Nullen in einer Binärzahl einfach zu ignorieren. Obwohl eine 0 multipliziert mit ihrem Stellenwert immer 0 ergibt, ist ihre Position entscheidend. Eine Null fungiert als wichtiger Platzhalter, der die nachfolgenden Einsen auf höhere Stellenwerte verschiebt. Das Ignorieren von Nullen führt zu einem komplett falschen Ergebnis.
Beispiel am Unterschied zwischen 11 und 101:
- Binärzahl
11:
1*2¹ + 1*2⁰ = 2 + 1 = 3- Binärzahl
101:
1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 4 + 0 + 1 = 5Die Null in der Mitte von 101 sorgt dafür, dass die linke 1 den Stellenwert 2² (also 4) erhält und nicht 2¹ (also 2). Jede Ziffer, auch die Null, ist für die korrekte Struktur der Zahl unverzichtbar.
Lernziele
- den Umwandlungsprozess von binären Zahlen in Dezimalzahlen auszuführen, wobei die korrekte Umrechnung durch Multiplikation der Binärstellen mit den entsprechenden Potenzen von 2 schrittweise demonstriert und das Ergebnis nachvollziehbar dargestellt werden muss.
- häufige Missverständnisse im Umwandlungsprozess erklären, wobei die typischen Fehler, wie das Vertauschen von Stellenwerten und die falsche Interpretation der binären Ziffern, klar identifiziert und detailliert erläutert werden müssen.
- die Schritte zur Umwandlung einer binären Zahl in eine Dezimalzahl abzurufen, unter der Verwendung eines strukturierten Verfahrens, wobei die Binärstellen korrekt den entsprechenden Dezimalwerten zugeordnet und die Bedeutung jeder einzelnen Stelle im Ergebnis hervorgehoben werden muss.